complex-logarithm

複素対数 (complex-logarithm)

複素平面上の自然対数 log。指数関数 e^z の逆にあたる。vwFSC_XrRmU の主題「絵の対数を取る」の核。

指数関数 e^z は縦線を円に変換し、入力の虚部を 2π 増やすと出力が1回転する周期的な多対1写像。その逆である複素対数は、円を直線に戻す。無限に多くの入力が同じ出力に対応するため、対数は多価関数になる(複素解析では「分岐切断 (branch cut) を選ぶ」)。

ドロステ効果の絵に対数を適用すると、縦横2方向に周期的な奇妙なパターンが得られる。指数は掛け算を足し算に、対数はその逆を行うので、ズーム(例: 16倍)が対数空間では一定幅の平行移動として現れる。エッシャー風の絵は「log → 回転と拡大縮小 → exp」の3段で作れ、これは 等角写像として働く。